这里主要解释一下莫德尔猜想，至于证明就不多讲了。所谓代数曲线，粗略一点说，就是在包含K的任意域中，f(x，y)=0的全部解的集合。
令F(x，y，z）为d次齐次多项式，其中d为f(x，y）的次数，并使F(x，y，1）=f(x，y），那么f(x，y）的亏格g为
g≥（d-1）（d-2）/2
当f(x，y）没有奇点时取等号。
费马多项式x^n+y^n-1没有奇点，其亏格为（n-1）（n-2）/2。当n≥4时，费马多项式满足猜想的条件。因此，xn+yn=zn最多只有有限多个整数解。
为什么猜想中除去了f(x，y）的亏格为0或1的情形，即除去了f(x，y）的次数d小于或等于3的情形呢？我们说明它的理由。
d=1时，f(x，y)=ax+by+c显然有无穷多个解。
d=2时，f(x，y）可能没有解，例如f(x，y)=x2+y2+1；但是如果它有一个解，那么必定有无穷多个解。我们从几何上来论证这一点。设P是f(x，y）解集合中的一点，令l表示一条不经过点P的直线（见上图）。对l上坐标在域K中的点Q，直线PQ通常总与解集合交于另一点R。当Q在l上取遍无穷多个K—点时，点R的集合就是f(x，y）的K—解的无穷集合。例如把这种方法用于x2+y2-1，给出了熟知的参数化解：
当F(X，Y，Z）为三次非奇异（即无奇点）曲线时，其解集合是一个所谓椭圆曲线。我们可用几何方法做出一个解的无穷集。但是，对于次数大于或等于4的非奇异曲线F，这种几何方法是不存在的。虽然如此，却存在称为阿贝尔簇的高维代数簇。研究这些阿贝尔簇构成了伐尔廷斯证明的核心。
伐尔廷斯在证明莫德尔猜想时，使用了沙伐尔维奇猜想、雅可比簇、高、同源和台特猜想等大量代数几何知识。莫德尔猜想有着广泛的应用。比如，在伐尔廷斯以前，人们不知道，对于任意的非零整数a，方程y2=x5+a在Q中只有有限个
有限组互质
1983年，en:GerdFaltings证明了Mordell猜测，从而得出当n2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得a^n+b^n=c*n。
GerhardFrey
1986年，GerhardFrey提出了“ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n+b^n=c^n，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线y^2=x(x-a^n)(x+b^n)会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被KennethRibet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。
怀尔斯和泰勒
1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。
怀尔斯
怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在剑桥大学的一个讨论班上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。不过在审批证明的过程中，专家发现了一个缺陷。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间改进了它，在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊（en:AnnalsofMathematics）之上。
n=3
欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。
n=4
费马自己证明了n=4的情形。
n=5
1825年，狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。
n=7
1839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。
理想数
库默尔在1844年提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。
n1,000,000
至1991年对费马大定理指数n1,000,000费马大定理已被证明，但对指数n1,000,000没有被证明。
谷山——志村猜想
1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线于另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确
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